以前の記事でモータのパラメータ$R,L$を使って、閉ループ伝達関数の帯域を設定できることを書きました。導出の際にモータをPI係数の設定に使って、制御対象側のパラメータと約分する操作がありました。現実において、モータのパラメータを完全に一致するような測定はできませんが
測定精度
温度上昇で抵抗値$R$の上昇
磁気飽和によるインダクタンス$L$の減少
このとき閉ループ伝達関数の形はどう変わって、応答への影響はどうなるのだろうか？狙った応答からどれくらいずれてしまうのか・・・よくある解析の仕方で確認してみたいと思います。
準備
今回は$R,L$の誤差の影響がみたいので、逆気電圧の補償は正確にできていると仮定します。
制御対象のモータモデルはと書きます。
$$G_m(s)=\frac{1}{Ls+R}$$
$R$：巻き線抵抗
$L$：巻き線インダクタンス
PI制御に使うモータパラメータは実際の$R,L$とから以下ようにずれてしまっているとします。
$$\begin{align}
\tilde{R}&=R+\Delta R \\
\tilde{L}&=L+\Delta L
\end{align}$$
(加法的誤差とか言ったりします。)
PI制御のゲインは、狙った帯域$\omega_c$として
$$\begin{align}
K_p &= \omega_c \tilde{L} \\
K_i &=\omega_c \tilde{R}
\end{align}$$
このとき、閉ループ伝達関数はどうなるか、極の位置はどう影響を受けるのか考えてみます。
まずは、開ループ伝達関数
$$
G_o(s)=\omega_c \frac{\tilde{L}s+\tilde{R}}{s} \frac{1}{Ls+R}
$$
モータパラメータがずれていなければ分母、分子で約分できた（極点、零点が相殺できた）が、今回はできない。式変形を続けます。
$$\begin{align}
G_o(s)&=\omega_c\left\{ \frac{(L+\Delta L)s+R+\Delta R}{s} \frac{1}{Ls+R} \right\} \\
\end{align}$$
閉ループ伝達関数は
$$\begin{align}
G_c(s)&=\frac{G_o(s)}{1+G_o(s)} \\
&=\frac{ \omega_c\left\{ (L+\Delta L)s+R+\Delta R\right\} }{s(Ls+R)+\omega_c \left\{ (L+\Delta L)s+R+\Delta R\right\}} \\
&=\frac{\omega_c \left\{(L+\Delta L)s+R+\Delta R \right\} }{Ls^2+\left\{ \omega_c(L+\Delta L)+R \right\}s+\omega_c(R+\Delta R)}
\end{align}$$
極
$$s = \frac{-\left\{\omega_c(L+\Delta L)+R) \right\} \pm \sqrt{ \left\{\omega_c(L+\Delta L)+R) \right\}^2-4\omega_c L(R+\Delta R)}}{2L}$$
零点
$$s=-\frac{R+\Delta R}{L+\Delta L}$$
誤差を入れた上の式があっているのか不安になるので、$\Delta R=0,\Delta L=0$として誤差がなかったときと比べてみましょう。
極($\Delta R=0,\Delta L=0$)
$$\begin{align}
s &= \frac{-(\omega_c L +R)\pm (\omega_c L -R)}{2L} \\
&=-\frac{R}{L}, -\omega_c
\end{align}$$
零($\Delta R=0,\Delta L=0$)
$$s=-\frac{R}{L}$$
極と零の$-\frac{R}{L}$が相殺して、$-\omega_c$の極だけが残りましたね。どうやら合っていそうです。
話を戻しまして、誤差があるときの極はそのままだとどう動くのかわからないので軌跡を考えてみましょう。今は絶対的な値に特に興味はありませんが、下の図では
$$\begin{align}
R&=1 \text{[Ω]} \\
L&=1 \text{[mH]} \\
\omega_c&=1000\text{[rad/s]} \\
\end{align}$$
としています。
誤差があって振動的になったとしても、$R$に誤差があるのか、$L$に誤差があるのかいまいち判断できなさそうですね。すぐさま悪いさをするわけではなさそうですが、電流制御の外側につける制御器（速度制御）がついたときにどうなるか気になりますね。